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14 février 2010 7 14 /02 /février /2010 18:52

J'aime bien comprendre ce que je fais et avoir l'impression que je maitrise les technologies que j'utilise. J'ai bien dit avoir l'impression ...

En ce qui concerne le moteur électrique, si il y a des modèles de simulation relativement performants pour les avions pour les hélicoptères il n'y a pas grand chose. J'ai donc décidé de reprendre tout par le début et de tenter de modéliser la chaine de propulsion de mon Eco8. On verra par la suite que finalement j'ai été forcé de limiter mon ambition, mais patience.

Donc, pour commencer, les équations du fonctionnement du moteur électrique  :

Je passe rapidement sur la théorie du fonctionnement du moteur, sur ce sujet je suis un peu dépassé et je risquerai de dire des bêtises, j'y reviendrai peut être plus tard. On retiendra que le moteur tourne à une vitesse qui est proportionnelle à la tension d'alimentation, le controleur (dans le cas d'un brushless, sur un moteurs à balais ce sont les balais et les lamelles sur le rotor qui jouent ce rôle) se chargeant d'alimenter au bon moment la bobine qui va bien. Pour l'instant on suppose que les gaz sont à 100%, c'est plus simple. Et pendant que nous y sommes on va considérer que la tension d'alimentation du controleur est constante (ce qui n'est pas le cas lorsque on alimente la propulsion avec un pack d'accus, car en particulier la tension chute quand l'intensité augmente).

 


Le moteur est caractérisé par trois grandeurs :


- le Kv : constante de vitesse qui donne la vitesse de rotation pour 1 volt (en Tours/mn/volt
- Io : intensité consommée moteur "à vide".
- Ri : résistance interne du moteur.

On remarquera qui Io qui apparait généralement dans les datasheet comme une constante n'en est pas une, sa valeur dépend de la vitesse de rotation du moteur.

Par ailleurs Kv n'est pas vraiment une constante absolue, sa valeur dépend en particulier du timing.

Quand à Ri, attention aux valeurs trouvées dans les datasheet, dans certains cas ce qui est indiqué c'est parfois la résistance interne d'un seul des bobinages, hors sur certains moteurs il y a deux bobinages en série. la valeur que l'on mesurera réellement si on dispose d'un ohmètre assez précis sera donc le double de celle indiquée sur la feuille de caractéristiques.

Le Ri est important, parce que quand on alimente le moteur avec une tension U seulement une partie de cette tension va servir à faire tourner le moteur. Le reste va être perdu en raison de l'effet joule, qui se traduit par un échauffement du moteur : quand une intensité I traverse une résistance R, la chute de tension aux bornes de la résistance est Ur = R*I . Donc, dans le cas de notre moteur, si la tension d'alimentation est U, la tension qui sert vraiment à animer le moteur est U - I * Ri (I étant l'intensité dans le circuit).

Tient, au fait, les ordres de grandeur courantes de ces valeurs (pour des brushless) : 700 tours/mn/volt à 3500 tours/mn/volt pour le Kv, 0,5 ampère à 3 ampères pour Io et 0,015 ohm à 0,045 ohm pour Ri.

Le cachet d'apirine est prêt ? alors on y va :

Vitesse de rotation du moteur : N = Kv * (U - I * Ri) 
Puissance consommée           : Pc = U * I
Puissance en sortie moteur    :  Ps = (U - I * Ri) * (I - Io).


Là, j'explique : la puissance en sortie est égale à la puissance utile. On la calcule en appliquant la formule générique puissance = tension * intensité. Mais il ne faut prendre en compte dans le cas présent que la tension utile (celle qui fait tourner le moteur) et l'intensité utile (c'est à dire en soustrayant l'intensité à vide, qui ne produit pas de puissance sur l'axe)

Puissance au rotor : Pr = N * C (C est le couple au niveau du rotor). C'est la même puissance que la puissance en sortie moteur, mais cette fois-ci vue d'un point de vue mécanique et non pas électrique.

Qu'est-ce qu'on peut tirer de tout ça ?

- puissance au rotor = puissance de sortie :
                 Pr = Ps

         -->   (U - I * Ri) * (I - Io) = N * C
         -->   N / Kv  * (I - Io) = N * C
         -->   (I - Io)  / Kv = C
         -->   I = Kc * C + Io en posant Kc = 1/Kv .

Ce qui veut dire que le couple exercé par le moteur est fonction de l'intensité : la relation entre les deux grandeurs est linéaire, la pente est égale à Kc = 1/ Kv.

- Vitesse de rotation moteur : quand on met du pas la vitesse du moteur chute. Ce qu'on corrige en mettant une courbe de gaz qui a pour effet d'augmenter le % de gaz quand le pas augmente. L'équation N = Kv * (U - I * Ri) explique en partie ce phénomène : quand le pas augmente, le couple augmente également , et de même pour l'intensité. Donc la tension utile diminue. Et la vitesse rotor qui est proportionnelle à la tension utile diminue également.

 


En réalité, si on alimente par une batterie un deuxième effet se superpose à celui-ci car quand l'intensité consommée augmente la tension de l'accu baisse.



- Rendement du moteur : c'est le rapport entre la puissance de sortir et puissance d'entrée.

          rendement = Ps / Pc = (U - I * Ri) * (I - Io) / (U * I)

Pour trouver le rendement maximum on décompose, on dérive et on dit que la dérivée est égale à 0. On trouve l'intensité au rendement maximum :

          R  = ((U - I * Ri) * (I - Io)) / (U * I) 
          R = (U*I - U*Io - Ri*I² + I*Ri*Io)

          R = 1 - Io/I -(Ri/U)*I + (Ri/U) * Io

 

le rendement maximum est atteint quand dR/dI = 0

 

          dR/dI = 0

          Io/Irmax² - Ri/U = 0

          Io/Irmax² = Ri/U

          Irmax² = Io * U / Ri          

 

          Irmax = racine ( U * Io / Ri )

 

  

Pour calculer le rendement maximum, on repart de l'équation du rendement et on écrit que l'intensité est égale à racine(U * Io / Ri)


          Rmax = 1 - Io/Irmax -(Ri/U)*Irmax + (Ri/U) * Io

          

          Rmax = 1 - Io/(racine (U*Io/Ri)) - Ri/U * (racine(U*Io/Ri)) + (Ri/U)*Io

          Rmax = 1 - Io*racine(Ri/(U*Io)) - racine(Ri*Io/U) + (Ri/U)*Io

          Rmax = 1 - racine (Io*Ri/U) - racine(Ri*Io/U) + (Ri/U)*Io

          Rmax = 1 - 2 * racine (Io*Ri/U) + (racine ((Ri/U)*Io))²

          Rmax = (1 - racine (Io*Ri/U))²

 

 

On voit que le rendement dépend uniquement de la tension d'alimentation, de la résistance interne du moteur et de l'intensité à vide. En particulier on remarque que quand la tension augmente le rendement augmente également. On a donc intérêt à utiliser le moteur à la tension la plus élevée possible (pas seulement la tension d'alimentation du controleur, mais aussi la tension interne dans le moteur. c'est à dire voler avec le plus de gaz possible, ce qui se fera sur un hélicoptère en ayant un pignon bien adapté).

 

Au passage, on peut écrire Rmax en fonction de Irmax :

 

          Rmax = (1 - racine (Io*Ri/U))²

          Rmax = (1 - Io * racine ( Ri / (Io*U))²

          Rmax = (1 - Io / (racine (Io * U / Ri))²

          Rmax = (1 - Io / Irmax)²

          Rmax = ((Irmax - Io) / Irmax)²

 

  

- Puissance Maximum

  

Pour la calculer, et toujours en supposant que l'alimentation moteur est constante, on part de l'équation vue plus haut que l'on dérive en fonction de l'intensité, la dérivée s'annulant pour l'intensité à laquelle la puissance est maximum : 

 

          Ps = (U - I * Ri) * (I - Io) = - I²*Ri + I*(U + Ri*Io) - U*Io

          d(Ps)/d(I) = - 2*I*Ri +U*(Ri*Io)

          d(Ps)/d(I) = 0 quand 2*I*Ri =U*(Ri*Io)

 

on remet de l'ordre et on obtient : I(Ps,max) = 1/2*(U/Ri +Io)

 

Le terme Io est de l'ordre de 1. Par contre Ri est générallement de l'ordre de 0,03 ohm et on voit donc que U/Ri va être très élevé (pour U = 9 volts U/Ri = 300 donc l'intensité à puissance maximum est de l'ordre de 150 ampères. Dans la pratique à une telle intensité l'un des éléments de la chaine de propulsion va griller et donc la notion de puissance maximum théorique d'un moteur n'a que peu d'intérêt. La puissance maximum du moteur est en fait liée à sa capacité à évacuer la chaleur crée par l'effet joule (donc en gros liée à sa masse et au refroidissement).

  

  

Il suffit ensuite de réintroduire l'intensité dans la formule de la puissance :

 

          Ps,max = (U - I(Ps,max) * Ri) * (I(Ps,max) - Io)

          Ps,max = (U - 1/2*(U + Ri*Io))*(1/2*(U + Ri*Io) - Io

 

On remet de l'ordre et on obtient :

 

          Ps,max = (U - Ri*Io)²/(4*Ri)

Pour un moteur donné la puissance maximum théorique ne dépend donc que de la tension d'alimentation. Comme le terme Ri*Io est très faible devant U on peut admettre que cette puissance maximum théorique vaut U²/(4*Ri)

 

 

- Intensité au blocage : si le couple augmente beaucoup, l'intensité va augmenter et la chute de tension dans le moteur va finalement être telle qu'elle sera égale à  la tension d'alimentation : le moteur ne tourne plus. On peut facilement calculer l'intensité correspondante en écrivant que U = Ibloc * Ri

          
Ibloc = U / Ri


Bon et bien voila une bonne chose de faite. Promis je ne recommencerai pas. Que ceux qui ont abandonné la lecture au bout de quelques lignes ne s'inquiètent pas, on peut parfaitement vivre sans savoir redémontrer toutes ces équations.

 

 

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commentaires

Kelvin 04/08/2017 16:03

Merci pour le information et le blog!

Lebar 27/03/2017 11:26

Merci pour cette vulgarisation qui me replonge un peu dans mon adolescence...et mes études.
Ceci étant existe t il pour un brushless une relation qui relie le nombre de tours d'enroulement par pôle et son kv?
J'ai bien des restes de "I x d x L vectoriel B" mais j'avoue que j'ai un peu perdu le fil...
Merci
Eric

hal 27/03/2017 15:05

Merci. Et bonne question ... il faudrait effectivement que j'ajoute un chapitre à ce sujet, mais comme je le maîtrise mal j'ai repoussé cela à plus tard. Certains modélistes rembobinent des moteurs, ou les réalisent eux mêmes, je pense que c'est vers eux qu'il faudrait se tourner pour en savoir plus. Je peux donner un lien, source non vérifiée : wapics.free.fr/lrk/BrushlessBLDC.doc . Sinon apparemment il doit y avoir plein d'informations intéressantes ici : https://www.rcgroups.com/forums/showthread.php?240993-(Re)winding-and-building-motors-tips-tricks-checks-tests

max 09/03/2011 18:20


pour information P=cW avec W vitesse angulaire en rad/s et non pas N en tr/min


hal 12/03/2011 09:14



ok merci beaucoup pour la remarque, ça fait plaisir de voir que des lecteurs vont dans le détail de la lecture et je suis toujours friand de remarques. Je me repenche sur cette histoire
d'unités. Je pense qu'il faut que je mette un coefficient dans ma formule pour que l'équation devienne correcte avec une vitesse de rotation en tours/mn. Voir lemail que je t'ai envoyé,
j'attend ta confirmation pour mettre à jour l'article.