LIEN ENTRE PUISSANCE MECANIQUE FOURNIE PAR LE MOTEUR ET VITESSE DE ROTATION

Attention, l’abus de lecture de cet article pourrait pousser à une forte consommation d'aspirine.  Je vous aurai prévenu ....

Nota : cet article écrit en mai 2020 a été complété et enrichi en novembre 2020. 

Profitant des mesures sur la linéarité de la commande des gaz avec un moteur électrique, je me suis penché sur quelques aspects théoriques touchant aux chaines de propulsion électrique. Je me suis ainsi intéressé d'une part à la relation entre puissance et vitesse de rotation en statique, et d'autre part à la relation entre traction et vitesse de rotation en statique (ce qui fera l'objet d'un prochain article).

Ces relations permettent de caractériser le comportement d'une hélice en statique. En effet c'est bien à l'hélice qu'elles sont liées et non pas au moteur. 

Rappel des conditions d'essai : mon moteur a un Kv de 892 tours/mn/volt et la résistance de l'ensemble contrôleur + fils de liaison + bobinage moteur a une résistance de 0.062 Ohm (données mesurées). L'hélice utilisée est une APC-E ayant un diamètre de 11 pouces et un pas de 5.5 pouces.

Commençons donc par le lien entre puissance électrique consommée au sol et caractéristiques de l'hélice. Attention, il s'agit bien de la puissance consommée par l'hélice, donc de celle fournie à l'arbre du moteur. Ce n'est pas la puissance électrique consommée par le moteur. Par ailleurs c'est la puissance au sol, en statique.

Donc il va falloir calculer la puissance en sortie de moteur.  Pour cela nous utilisons la formule de calcul que j'avais donné il y a une dizaine d'années dans un autre article :

Ph_meca = P _{produite par le moteur} - P _{consommée par les frottements}

ou encore (U_b - Ri * I_b) * I_b - Po(N)

Au passage ... voici la signification des expressions que l'on trouvera dans cet article :

• "Ph_méca" puissance à l'arbre consommée au sol par l'hélice,
• "Pas" le pas de l'hélice
• "D" le diamètre de l'hélice
• N tours par minute. Je ferais apparaitre N/1000 par analogie avec les formules utilisées par Drivecalc (voir plus loin)
• U_b tension aux bornes du bobinage,
• I_b intensité traversant le bobinage du moteur,
• U_pack tension en sortie de pack
• I_pack intensité en sortie de pack
• Ri la résistance de l'ensemble contrôleur + fils de liaison + bobinage moteur
• U_utile la tension qui "fait tourner le moteur" (perte par loi d'ohm soustraite).
• Io(N) intensité en sortie de pack, à vide (sans hélice), pour une vitesse de rotation N
• Po(N) puissance électrique en sortie de pack, à vide (sans hélice), pour une vitesse de rotation N

Nota : J'aurais pu écrire l'équation sous la forme (U_b - Ri * I_b) * (Ib - Io(N)), qui est équivalente. Mais alors j'aurais eu plus de calcul a à faire pour déterminer la loi Io fonction de N que je n'en ai eu pour déterminer la loi Po fonction de N. Par ailleurs il va être plus facile de faire les calculs en faisant apparaître Po(N) parce qu'il y a une relation linéaire entre Po et N, ce qui n'est pas le cas entre Io et N.

Je pourrai ne vérifier la formule que sur les mesures faites plein gaz avec différentes tensions d'alimentation ou des packs de tension différentes. Dans ce cas le contrôleur joue le rôle uniquement de répartition du courant dans le bon bobinage du moteur, mais ne diminue pas la tension du pack (je rappelle : la vitesse du moteur dépend de la tension d'entrée du moteur, le contrôleur réduit par un système à découpage la tension d'entrée qui vient du pack d'alimentation pour ajuster la vitesse du moteur à la position du manche. Par ailleurs il commute d'un bobinage à l'autre le courant en fonction de la position relative du stator et du rotor). On connait alors I_b et U_b, elles sont égales à l'intensité et à la tension mesurée en sortie de pack (U_pack = U_b et I_pack = I_b) que je mesure avec mon logger, et donc le calcul est facile.

J'ai assez de points de mesure faites sur différents moteurs et avec différentes tensions qui pourraient ici me servir. Mais "pour le fun" j'aimerai utiliser mes essais ou j'ai fait augmenter progressivement les gaz (donc le contrôleur abaisse la tension d'entrée), il va falloir prendre les choses d'une manière différente et tout recalculer.

Donc comment faire pour calculer la puissance à l'arbre pour une vitesse de rotation N ?

1/ Je connais la vitesse de rotation de mon moteur. Comme j'ai caractérisé le moteur, j'ai calculé le Kv. Donc je vais très facilement calculer la tension utile qui fait tourner le rotor :

U_utile = U_b - Ri * I = N/Kv 

2/ Pour l'intensité traversant le bobinage c'est un peu plus compliqué. Je vais la calculer en résolvant un système à deux équations et deux inconnues.

- la première équation me dit que la puissance en sortie de contrôleur est égale à la puissance en entrée de contrôleur. Ce n'est pas entièrement vrai parce qu'il y a des pertes dans le contrôleur, mais bon ... je n'ai pas mieux à proposer :

P_pack = U_pack * I_pack = P_{sortie controleur} = U_b * I_b

- la deuxième équation est celle donnant la relation entre la vitesse du moteur, l'intensité dans le bobinage et la vitesse de rotation :

N = Kv * (U_b - Ri * I_b)

Ri a été déterminée lors de la caractérisation du moteur.

Si on secoue un peu ces deux équations on trouve : 

I_b = (- N/Kv + racine( (N/Kv)² + 4 * P_pack * Ri) ) / (2 * Ri)

Pour un point de mesure, je connais toutes les valeurs à droite de l'équation donc je calcule facilement I_b. Et une fois que l'on a Ib on calcule rapidement U_b = N/Kv + Ri * I_b . Pour Ph_meca il va falloir encore un peu d'efforts, parce qu'il faut connaitre Po(N).

Ci dessous un petit exemple de calcul avec les valeurs mesurées.

Moteur : Kv = 892, Ri = 0.062 Ohms

Mesure faite au logger : N = 6891 tours/mn, U_pack = 15.18 volts, I_pack = 9.8 ampères

I_b = (-N/Kv + racine( (N/Kv)² + 4 * Ppack * Ri) ) / (2* Ri)

     = (-6891 / 892 + racine( (6891 / 892)²  + 4 * 15.18 * 9.8 * 0.062) ) / (2 * 0.062)

     = (- 7.725 + racine ( 7.725² + 36.893)) / 0.124

     = (-7.725 + racine (96.569) ) / 0.124

     = (-7.725 + 9.827) / 0.124

     = 2.102 / 0.124

  I_b= 16.95 ampères

Ub = N/Kv

     = 6891 / 892

Ub = 7.73 volts

P produite par le moteur = Ub * Ib (mais pour connaitre la puissance à l'arbre il faut soustraire Po(N)).

                  = 7.73 * 16.95

P produite par le moteur  = 131 Watts

3/ Et donc il faut établir la relation entre Po et N. Pour cela je vais utiliser les mesures faites sans hélice en faisant varier les gaz : Po(N) est tout simplement la puissance fournie par le moteur pour une vitesse de rotation N donnée. On voit ici l'intérêt d'utiliser la formule avec Po(N) et non pas celle avec Io(N) : La puissance en entrée de moteur est égale à la puissance en sortie de pack (les pertes dans le contrôleur ont été négligées) dont la mesure se fait directement sans aucun calcul.

Ci dessous la feuille de calcul qui permet de déterminer Po en fonction de N/1000 pour mon moteur. Dans le cas de cet essai le moteur était alimenté par un pack 4S.

N	N/1000	Upack	Ipack	Ppack	Uutile	Ub	Ib (ici Io)	Po
3531	3.531	15.79	0.6	9.5	4.0	4.10	2.31	9.1
7251	7.251	15.76	1.5	23.6	8.1	8.31	2.85	23.1
9908	9.908	15.72	2.2	34.6	11.1	11.30	3.06	34.0
11348	11.348	15.71	2.7	42.4	12.7	12.93	3.28	41.7
12171	12.171	15.68	3	47.0	13.6	13.86	3.40	46.3
12685	12.685	15.68	3.1	48.6	14.2	14.43	3.37	47.9
12990	12.99	15.65	3.2	50.1	14.6	14.77	3.39	49.4
13294	13.294	15.64	3.2	50.0	14.9	15.11	3.31	49.4
13748	13.748	15.64	3.3	51.6	15.4	15.62	3.30	50.9

Nous pouvons maintenant tracer la courbe représentant Po en fonction de N/1000. On voit que les points sont presque parfaitement alignés (coefficient de détermination 0.996), et que l'on peut faire passer par ces points une droite, dont l'équation peut être calculée par une régression linéaire :

Po = 4.25 * N/1000 - 6.7

Maintenant nous avons tout ce qu'il nous faut pour calculer la puissance à l'hélice lors de mes essais. Le résultat est résumé dans le tableau ci-dessous.

N	N/1000	(N/1000)³	Upack	Ipack	Ppack	Uutile	Ub	Ib	Po	Phméca
0	0	0	15.4	0.0	0	0.0	0.0	0.0	0	0
3017	3.0	27	15.4	1.5	23	3.4	3.8	6.1	6.1	16
4782	4.8	109	15.3	3.9	60	5.4	6.0	10.0	13.6	40
5931	5.9	209	15.3	6.7	102	6.6	7.5	13.6	18.5	72
6891	6.9	327	15.2	9.8	149	7.7	8.8	17.0	22.6	108
7885	7.9	490	15.1	14.3	215	8.8	10.2	21.2	26.8	161
9188	9.2	776	14.9	22.2	330	10.3	12.0	27.5	32.4	251
10331	10.3	1103	14.3	32.9	471	11.6	13.7	34.3	37.2	361
10754	10.8	1244	14.5	37.2	539	12.1	14.4	37.5	39	413

Avoir des points c'est bien, mais pour faire de la simulation il faut avoir connaitre les valeurs de Ph_meca pour des valeurs de N comprise entre celles des points mesurés. Donc calculer une formule de courbe de régression passant par ces points. Il y a deux manières de faire, que je vais emprunter à Drivecalc (et dont l'une permettra plus loin de se comparer avec la formule de Boucher).

• Utiliser une formule de la forme Ph_meca = coefficient x (N/1000)^3. Il suffit de faire une régression linéaire avec Excel en forçant la courbe à passer par l'origine) :

Ph_méca = 0.33 * (N/1000)³

• Ou de la forme Ph_meca =  coefficient x (N/1000)^exposant comme le fait Drivecalc. Le calcul est un peu compliqué car il faut passer par une étape intermédiaire en passant par les logarithmes ( (Ln(Ph_meca) = Ln(coefficient) + exposant x Ln(N/1000) ) puis faire une régression linéaire. On peut aussi avec excel tout simplement tracer la courbe Ph^meca en fonction de N et tracer la droite de régression "puissance". Ce qui donne ici  :

Ph_méca = 0.68 * (N/1000)^2.66

La première formule a l'avantage de permettre de comparer les résultats issus de différents jeux de données assez facilement. Avec la deuxième expression c'est plus difficile, parce que l'exposant et le coefficient varient et il n'est pas possible de dire si deux courbes sont semblables rien qu'en regardant l'équation.

Les deux formules semblent très différentes mais si on prend une vitesse de 9188 tours/minute on trouve une puissance consommée de 255 watts avec la première et de 249 watts pour la seconde, pour une valeur mesurée de 249 watts. 

Ci dessous les courbes Ph_meca fonction de (N/1000)³ et fonction de N avec les courbes de régression. Par ailleurs j'ai superposé les courbes correspondant à chacune des formules avec les points de mesures, dans le cas présent la formule "cube" semble plus proche de la mesure que la formule "puissance".

Ensuite, je me suis demandé si ces valeurs étaient justes (ou du moins suffisamment justes). Première vérification, en prenant des valeurs mesurées plein gaz et en superposant les courbes obtenues afin de voir si les deux méthodes de mesure donnent le même résultat.

Ci-dessous les points superposés des mesures faites plein gaz que j'ai dans ma base de mesures (3 moteurs, 3S ou 4S). J'ai également superposé les 2 courbes de régression ("puissance" et "cube" pour chaque série de points mesurés.

Les résultats des deux méthodes de mesures sont corrélés. Visuellement l'alignement est un peu moins bon pour les mesures faites plein gaz, mais ces mesures ont été effectuées sur différents moteurs, à des époques différentes également, ce qui peut l'expliquer (influence de la température par exemple sur la masse volumique de l'air). L'équation "cube" sur les mesures plein gaz est : Ph_meca = 0.334 * (N/1000)³ soit la même formule qu'avec la mesure sur montée des gaz. J'en suis étonné je ne m'attendais pas à si bien. L'équation "puissance" semble différente : Ph_meca = 0.191 * (N/1000)^3.2868

La comparaison des courbes de régression montre que trois d'entre elles sont pratiquement confondues. Seule la courbe "puissance" sur la mesure avec montée des gaz est fortement décalée. On retrouve ce qui avait été vu plus haut, mais l'effet est amplifié parce que la plage de vitesse est plus importante. A 10000 tours/mn cette courbe est confondue avec les 3 autres courbes, c'est au-dessus de cette vitesse que l'écart devient vraiment important. On peut penser que on avait eu des points pour des vitesses plus importantes cette courbe aurait été beaucoup plus proche des autres courbes.

Tout cela est très rassurant. Maintenant je voudrais pour finir comparer mes courbes avec la formule de Boucher, avec les données de l'université de l'Illinois et avec les données venant du fabriquant de l'hélice (APC).

• La formule de Boucher s'écrit :Ph_méca = Pas. Dia⁴.(N/1000)³.9.10^-6/K , ou "K" est un coefficient de rendement de l'hélice qui vaut entre 1.7 et 2.3 approximativement suivant la qualité de l'hélice, cf le livre RC Aero Design de Franck Aguerre (1.7 pour les hélices basiques, 2.3 pour les hélices plus travaillées. Pour une APC le coefficient serait égal à 2.). Nota, dans cette formule le pas et le diamètre sont en pouces.

Pour pouvoir comparer les courbes il faut tout d'abord déterminer le coefficient K. C'est d'ailleurs le problème avec cette formule, si on choisit un coefficient inadapté le résultat va être éloigné de la réalité. Si je remplace le pas et le diamètre par leurs valeurs j'obtiens Ph_meca = 0.7247 x (N/1000)³. le coefficient adapté (pour obtenir la même équation que celle correspondant à mes mesures est donc égal à 0.7247/0.33 = 2.2 . C'est un peu élevé pour une APC si je me réfère à ce que j'ai lu, mais bon ...

• On trouve sur le site de l'université de l'Illinois (https://m-selig.ae.illinois.edu/props/propDB.html) des mesures faites sur des hélices utilisées en modélisme, pour différente vitesses de déplacement et en particulier en statique. En particulier beaucoup d'hélice APC ont été mesurées. Je passe sur la façon dont sont exprimés les résultats, j'y reviendrais dans un autre sujet. Nous allons d'une part utiliser les données mesurées, et d'autre part la courbe de régression. La courbe "cube" a pour équation Ph_meca = 0.3082 x (N/1000)³ et la courbe puissance est pratiquement identique : Ph_meca = 0.309 x (N/1000)^2.9921. Peut-être ceci peut-il être expliqué par des vitesses de rotation faibles (moins de 6500 tours/mn). 

• Et enfin, sur le site APC se trouvent, pour toutes les hélices, des résultats de puissance consommée en fonction de la vitesse de rotation, en statique mais aussi avec différentes vitesses de déplacement. Ce sont les données statiques que nous utiliserons. J'ai essayé de calculer la fonction cube associée aux données mais cela n'a pas été concluant, parce que les points ne sont pas alignés (la courbe Ph_meca fonction de (N/1000)³ n'est pas une droite). 

 J'ai fait figurer dans le graphe ci-dessous : les points mesurés par l'UIUC, une courbe reposant sur la formule de Boucher, une courbe "cube" calculée à partir des données de l'UIUC, une courbe issue des données APC, et la courbe de régression "cube" correspondant à mes mesures mes mesures. 

Les résultats étaient assez prévisibles :

• La formule de Boucher et la fonction "cube" basée sur mes mesures sont superposables : c'est normal puisque j'ai ajusté le coefficient de la formule de Boucher pour que les équations soient égales
• Les données mesurées de l'UIUC sont inférieures de 8% environ à  mes propres mesures. C'est très satisfaisant pour moi.
• La fonction "cube" calculée à partir des données de l'UIUC est logiquement un peu au-dessous de mes résultats. C'est dommage qu'il n'y ait pas de mesures UIUC pour des vitesses de rotation plus élevées.
• Les données APC sont très éloignées. Jusqu'à 8000 tours/mn les courbes sont relativement proches, mais ensuite les résultats divergent. Je ne l'explique pas, mais les résultats APC étant calculés je fais plus confiance à ceux de l'UIUC.

Que conclure .... Je suis content d'avoir mené à bien cette petite étude. Je retiens que sur l'hélice essayée on obtient une équation "au cube" très représentative des mesures effectuées, et proche de l'équation de Boucher.

Je retiens aussi la confirmation de la relation de linéarité entre Io et la vitesse de rotation, et je suis content d'avoir écrit les équations qui permettent de calculer le courant dans le bobinage et la puissance de sortie quand les gaz ne sont pas à fond. D'ailleurs .... cela me permet de calculer la courbe de rendement de mon moteur lors de la mise de gaz .... intéressant cela, j'y reviendrai peut être.

Mes mesures sont plutôt bien corrélées avec celles de l'UIUC ce qui est une grande satisfaction. Quant aux données APC, du moins pour cette hélice, il est préférable de ne pas les utiliser.

La formule de Boucher me laisse un peu perplexe, dans la mesure où elle "colle" bien aux mesures mais comporte un coefficient qui, si sa valeur est mal choisie, peut induire des erreurs. Si j'avais utilisé un coefficient de 2, adapté théoriquement à une hélice APC, la courbe aurait été au-dessus de la mienne d'environ 10%, et se serait éloignée également de la courbe UIUC. Cette incertitude me gêne.

Enfin, il semble qu'il soit préférable d'adopter une formule de régression "cube" plutôt qu'une formule "puissance". La formule de Boucher suit une fonction "cube", on voit que pour les données UIUC la fonction puissance est pratiquement à la fonction "cube", et sur mes propres données les courbes montrent que la corrélation des mesures est sensiblement meilleure dans le cas de la fonction cube qu'avec la fonction puissance.

Ami lecteur, toi qui es parvenu à la fin de cet article, bravo .... et si il y a des questions ou remarques n'hésite pas à écrire un commentaire.