PERTE DE RENDEMENT AVEC UNE HELICE MAL ADAPTEE

L'article initial avait été écrit fin 2021. Il a été remis complètement à jour début février 2025, et publié en tant que "nouvel article". Le titre a également été changé.

Ceux qui suivent mon blog le savent, j'aime bien triturer les chiffres ... Ici je récidive pour un article qui va encore secouer les neurones des lecteurs et entrainer des maux de tête. D'autant plus que je sors un peu des sentiers battus, mais je vais essayer d'être clair.

En préliminaire je précise que

• tout ce qui suit se rapporte au comportement de la chaine de propulsion en statique (avion maintenu au sol à l'arrêt ou moteur sur un banc).
• je fais le calcul sans avoir fait de mesure sur la chaine de propulsion. Les données du moteur viennent d'un site de vente, et pour les calculs j'utilise la formule de Boucher pour avoir la puissance mécanique absorbée .

Récemment il y a eu un sujet sur le forum modelisme.com ou un membre posait la question suivante : "sur un avion électrique, j'installe une hélice, et quand je teste l'ampérage tiré je suis trop large, beaucoup...via ma radio je crée une courbe de gaz de 0 à 50% (je ne limite pas à 50% mais je crée une ligne droite de 0 à 50%) au lieu bien sûr de 0 à 100% et là je suis bon en ampérage. Du coup j'utilise bien mon manche des gaz de 0 à 100% sans trou sur une partie de la course...
Quels peuvent être les inconvénients d'une telle limitation ?"

La réponse des autres membres a été la réponse habituelle, je reprends celle du premier qui a répondu : "La commutation à haute fréquence lorsque tu fais fonctionner à régime intermédiaire fait chauffer le variateur mais aussi le moteur plus que de besoin. De plus ton moteur va fonctionner sur une courbe de puissance à plus faible rendement".

La fin de l'histoire c'est qu'après plusieurs échanges, questions, explications, la personne qui posait la question initiale a monté une hélice plus petite, remis la course à 100% et elle semble en être parfaitement contente. J'en profite pour donner quelques informations sur le matériel :

• Moteur Turnigy L2210A-1650 donné pour un Kv de 1650, un courant à vide de 1.3A et pouvant supporter 17.5 ampères. Pas d'indication sur la résistance interne, je prends celle du Turnigy 2826 Kv 1650 dont les données se trouvent dans Drivecalc, 0.184 ohm.
• Hélice initiale (la "grande hélice") : 9 x 6 repliable
• Hélice finale (la "bonne hélice") : 6 x 4.5 pales fixes

Je me suis alors demandé si il était possible de quantifier cette perte de rendement. Sachant que généralement la courbe de rendement est donnée en fonction de l'intensité. J'ai commencé à poser le calcul pour l'évaluer avec la position du manche plein gaz. Pas de problème pour calculer le rendement plein gaz avec la "bonne hélice". Par contre avec la "grande hélice" ça coinçait, parce que compte tenu de la limitation de course faite sur la radio, manche plein gaz ... on n'est pas plein gaz. Et comme chacun le sait les calculateurs classiques ne donnent un résultat correct que pour la position gaz à fond. En y réfléchissant, c'est à la fois vrai et ... faux

Il est essentiel déjà de comprendre le pourquoi de cette restriction : 

• Le calculateur s'appuie sur des formules de calcul dans lesquelles la tension est celle qui se trouve aux bornes du bobinage.  Alors pourquoi la valeur de tension que nous lui donnons est-elle la tension en sortie de pack ? Il y a le contrôleur entre le pack et le moteur, qui découpe la tension, donc ça ne devrait pas marcher !! En fait, il y a un moment où la tension aux bornes du moteur est égale à la tension du pack : c'est plein gaz. Parce que dans la position plein gaz le contrôleur fournit la tension maximum qu'il peut fournir, c'est à dire la tension en sortie de pack. 
• Mais .. si on donnait au calculateur la tension en entrée moteur, il nous calculerait sans problème l'intensité et  la vitesse de rotation pour une position de gaz intermédiaire.  C'est là que ça coince, parce que nous ne savons pas mesurer cette tension. Mais on sait la calculer ..

Premier calcul :

• Je calcule l'intensité, la puissance consommée et la puissance à l'axe Paxe avec l'hélice 6 x 4.5 plein gaz en supposant que la tension aux bornes du pack est de 11.1 volts .
• Puis je calcule tension et intensité aux bornes du bobinage, ainsi que la puissance consommée, avec l'hélice 9 x 6, pour une puissance à l'axe égale à Paxe.

Au boulot ... mais petit préliminaire, je n'ai pas suffisamment d'équations pour arriver au résultats. Je dispose en effet des deux équations suivantes : 

• Equation 1 : Puissance fournie par le moteur : Paxe = (U - R x I) x ( I - Io ) 
• Equation 2 : relation entre vitesse de rotation, tension et intensité : N = Kv x ( U - R * I) 
  • U tension aux bornes du moteur (pas aux bornes du pack)
  • I : intensité qui traverse le bobinage
  • R résistance interne du moteur (d'une branche de bobinage)
  • Kv : constante du moteur en tours/mn/volt
  • Io : intensité moteur à vide. En fait Io n'est pas une constante, elle varie avec la vitesse de rotation. Mais comme je n'ai que la valeur pour 10 volts .. on s'en contentera .. et on en reparlera ..

Cela nous fait 4 inconnues (Paxe, U, I, N) et 2 équations. En fait cela n'en fait que 3 puisque dans le cas de la 6 x 4.5 on va imposer U et que pour la 9 x 6 nous imposerons P . Il ne manque donc qu'une équation, et nous allons utiliser les formules relatives à l'hélice :

• Puissance consommée par l'hélice = coef x N³, ou coef est une constante. Cette relation est une approximation, mais elle correspond assez bien à la réalité. Cette puissance est égale à la puissance à l'axe.
• Et le coefficient peut être soit mesuré, soit calculé par la formule de Boucher (formule de Boucher issue du livre RC Aero Design : coef = (Pas x Dia⁴ x 9.10^-15 / 2).
• Donc nous avons notre troisième équation :
  • Equation 3, avec la 9 x 6  :  Paxe = 1.8 E-10 x N³
  • Equation 4, avec la 6 x 4.5 : Paxe = 2.6 E-11 x N³

Il ne reste plus qu'à faire le calcul.

• Première étape : Paxe pour une tension de 11.1 volts avec la 6 x 4.5.
  • on utilise les équations 1 et 4 :    2.6 E-11 x N³ = (U - R x I) x ( I - Io )
  • on utilise l'équation 2 pour faire disparaitre N : 2.6 E-11 x (Kv x ( U - R * I))³ = (U - R x I) x ( I - Io )
  • on simplifie : 2.6 E-11 x Kv³ x ( U - R * I)² =  ( I - Io )
  • on développe, équation du second degré en I que l'on sait résoudre (ou solveur Excel)
  • Et on obtient I = 11 ampères.
  • Le calcul de Paxe est immédiat à partir de l'équation 1 : Paxe = 88.1 Watts.
  • Idem Pin = U x I = 122 watts et rendement = Paxe / Pin = 72%
• Deuxième étape : calculer Pin et le rendement avec la 9 x 6 pour Paxe = 88.1 watts :
  • N se calcule avec l'équation 3 : N = 7923 tours/mn
  • on combine ensuite les équations 1 et 2 : Paxe = N/Kv x (I - Io) ce qui donne I = 19.65 A
  • U est calculé avec l'équation 2 : U = N/Kv + R x I d'ou U = 8.4 volts
  • Et on a donc Pin = U x I = 165 watts, et rendement = 53%

Le résultat du calcul confirme ce qui était du plus haut : avec l'hélice 6 x 4.5 utilisée plein gaz le rendement est de 72%. Avec la 9 x 6 utilisée gaz réduits, pour une puissance à l'axe égale, le rendement est de 53%. Soit 43 watts qui ne font qu'échauffer le bobinage et ne servent pas pour faire tourner le moteur.

J'ai voulu aller plus loin et j'ai tracé les courbes de rendement pour les tensions respectivement 11.1V et 8.4V. Puis j'ai placé sur ces courbes le point de fonctionnement de chacune des hélices. Je ne détaille pas le calcul, on fixe U et on fait varier I dans l'équation Rendement = (U - R x I) x ( I - Io )/(U  I)

On voit que deux effets s'additionnent et expliquent l'écart  :

• La courbe de rendement pour 11.1V est au dessus de la courbe de rendement pour 8.4V .
• Le point de fonctionnement est dans la partie descendant de la courbe de rendement, loin du rendement maximum.

J'en voit qui ont les yeux qui pétillent et se disent qu'on peut même aller plus loin et calculer la courbe de rendement sur tout le déplacement de la manette des gaz, pour une hélice. Et oui, tout simplement en faisant varier la tension depuis disons 1 volt jusqu'à la tension maximum atteinte en sortie de pack, volt par volt, on peut calculer pour chacune des tensions le rendement du moteur. Et ensuite tracer la courbe rendement fonction non pas de l'intensité mais de la puissance à l'axe (à partir de l'intensité cela aurait peu d'intérêt puisque c'est l'intensité dans le bobinage. On pourrait tracer la courbe en fonction de la puissance consommée, mais c'est la puissance à l'axe qui permet le mieux de comparer les deux situations).

Je ne détaille pas le calcul le principe est le même que plus haut. On écrit que coef x N³ = (U - R x I) x (I - Io) , puis on remplace N par l'expression en fonction de U et I (équation 2). On développe, on obtient une équation du second degré en I, dans les coefficients de laquelle apparait U. On sait résoudre ce type d'équation (à la main c'est fastidieux, je me sers d'Excel pour les calculs) et donc, pour chaque valeur de U on peut calculer une valeur de I. A partir de cela on peut calculer la puissance consommée (U x I), la puissance fournie par le moteur , la vitesse de rotation du moteur et le rendement du moteur.

La courbe de rendement en fonction de la puissance à l'axe, avec l'hélice 6x4.5, est donnée ci-dessous. 

Le rendement part de 0, augmente progressivement pour devenir à peu près constant à partir de 40 watts de puissance à l'axe. Je suis cependant réservé sur les valeurs de rendement calculées pour les faibles puissances : en effet la vitesse de rotation est faible, et donc l'intensité à vide doit également être beaucoup plus faible que la valeur Io pour 10 volts (environ 16500 tours/mn) que j'ai utilisée pour le calcul. Le terme (I - Io), dans lequel apparait l'intensité à vide, doit donc être très largement sous estimé, et l'erreur relative d'autant plus importante que pour les faibles puissances I est faible.

On ne regardera donc pas la première partie de la courbe, et on prendra en compte uniquement les valeurs de rendement à partir de Paxe = 40 watts, ce qui correspond d'ailleurs aux valeurs en vol (en dessous la puissance doit à peine suffire à maintenir l'avion en vol). 

On peut faire la même courbe pour la "grande hélice et superposer les courbes pour juger de la différence.

Le résultat s'applique donc pour toutes les positions du manche des gaz : avec la 9x6 "sous utilisée" on perd de 10 à plus de 15 points de rendement pour une même puissance à l'axe.

La différence en termes de puissance est encoreplus claire si on trace la puissance à l'axe en fonction de la puissance consommée :