Chercher un lien entre le Kv, la masse et la résistance interne d'un moteur

Pourquoi Hal se pose t'il ce genre de question allez vous vous demander ?

Et bien cela est lié à la remise à plat que je suis en train de faire sur un article que j'avais écrit en 2021, présentant un calculateur qui permet de comparer les solutions de motorisation (Kv et hélice) permettant d'obtenir un Vpitch et une traction statique données. Pour les détails c'est là : lien

Le principal point dur, c'est d'entrer pour les calculs, et pour chaque moteur, une résistance interne cohérente (c'est à dire correspondant à celle du moteur qu'on trouvera dans le commerce, pour un moteur ayant le Kv calculé et fournissant l'intensité plein gaz calculée). Parce que la résistance interne n'est pas du tout la même sur le petit moteur monté sur mon Parkmaster (108 milliohms moteur + controleur), et sur le moteur monté sur mon Tiger Moth de 2m20 et 9 kg (57 milliohms moteur + controleur). Et sur le moteur de mon Ellipsia indoor j'ai mesuré une résistance interne de 450 milliohms (moteur + controleur).

Donc pour mon calculateur, je me suis demandé si il n'était pas possible d'estimer la valeur de la résistance interne à partir d'une donnée moteur facilement accessible. Les données en question étant le Kv d'une part et la masse d'autre part, que l'on trouve systématiquement pour tous les moteurs.

Ragardons d'abord si il y a un lien entre Kv et Ri d'une part, et entre masse et Ri d'autre part, en traçant 2 courbes :

• Variation du Ri, pour un boitier moteur donné (mêmes dimensions extérieures et masse, c'est le nombre de tours de bobinage qui varie).
• Variation du Ri, pour un même Kv et des moteurs de masses différentes.

J'ai utilisé les données disponibles dans les datasheet des moteurs Joker (distribués par Lindinger) pour tracer ces 2 graphes :

• Pour un même boitier, quand le Kv augmente la résistance interne du moteur diminue d'une façon assez régulière. On peut à peu près faire passer une droite par tous les points.
• Pour un même Kv, quand la masse du moteur augmente Ri diminue. Ici aussi d'une facon assez régulière. On ne peut pas faire passer de droite par les différents points, mais en utilisant l'outil "courbe de tendance" Excel trouve une fonction puissance qui se superpose à peu près à la courbe.

Maintenant que se passe t'il quand on trace les mêmes graphes mais cette fois-ci en utilisant une base moteur contenant des moteurs de masse et Kv difféents ? Pour répondre à la question, j'ai crée une base de données sur différents moteurs en prenant les informations dans des documents dont je disposais, ou sur la toile. Avoir le Kv et la masse c'est facile, trouver le Ri ça l'est moins. J'ai finalement une base de 300 moteurs environ, des marques Joker, Dualsky, Hacker, Hyperion, Axi, T-Motor et Protronik.

Et donc, voici les deux graphes, Ri fonction de la masse et Ri fonction de Kv :

• Ri fonction de la masse : le nuage de point a une forme relativement ordonnée, on y voit une forme de cohérence avec des Ri très élevées pour de faibles masses, qui diminuent fortement jusq'à une masse de 100 grammes environ, puis se stabilisent presque pour des masses supérieures. On peut faire passer une courbe fonction puissance à peu près centrée au milieu des points, elle est en rouge sur le graphique. Certes il y a de la dispersion et le coefficient de corrélation est médiocre, mais ce n'est pas choquant.
• Ri fonction du Kv : on obtient un nuage de points qui est absolument inexploitable.

Puis, afin de me faire une meilleure idée de la dispersion des Ri pour une même masse, je limite l'échelle verticale à 100 milliohms :

La dispersion est quand même très importante ... On peut estimer "à l'oeil" que pour une même masse l'amplitude des valeurs de Ri est d'environ 50 milliohms. Pour une masse moteur de 200 grammes par exemple, la courbe de régression donne un Ri de 30 milliohms et les valeurs réelles vont de 10 milliohms à 50 milliohms, soit +/- 66% . 

Par ailleurs si on effectue le même zoom en regardant ce qui se passe aux falbles masses moteur, on voit que en dessous d'une trentaine de grammes la courbe de tendance ne colle plus aux données réelles.

Est-ce acceptable ?

- pour les moteurs de moins de 30 grammes : ça ne me dérange pas. Ce sont des moteurs pour avions indoor, je ne pratique pas .. il suffit de savoir que pour des moteurs inférieurs à 30 grammes la simulation va être très imprécise

- Pour les moteurs de plus de 30 grammes. Pour répondre à la question (imparfaitement certes parce que je devrais vérifier pour plusieurs points de masse) je vais faire un calcul de performance moteur, en prenant comme base mon Calmato qui a un moteur pesant 200 grammes et un Kv de 1016 tours/mn/volt avec une hélice 11 x 5.5. Et donc je vais calculer Ia Vpitch, la traction et l'intensité pour Ri = 10 milliohms, 30 milliohms et 50 milliohms. En n'oubliant pas d'ajouter la résistance du controleur dans les calculs soit 30 milliohms (approximation issue de l'expérience).

Ri (moteur + controleur)	Vpitch (km/h)	Traction (Kgf)	Intensité (Ampères)
40 (mini constaté)	107	3.5	56
60 (calcul approché)	100	3.1	50
80 (maxi constaté)	95.4	2.8	45

Donc si on compare les valeurs extrèmes par rapport à la valeur donnée par la loi approchée on a des erreurs de environ :

• 7% pour Vpitch
• un peu plus de 10% pour la traction
• environ 5 % pour l'intensité.

C'est finalement meilleur que ce que à quoi je m'attendais en voyant les graphiques. Certes les écarts ne sont pas négligeables mais ils restent acceptables dans le cadre d'un calcul de dimensionnement.

Ensuite, je me pose une question : ne serait-il pas préférable de calculer la loi liant Ri à la masse en distinguant plusieurs segments (en fonction de la masse), afin d'avoir une loi qui "colle mieux" aux mesures. Je sais, c'est un peu de la gourmandise compte tenu de la dispersion. Après plusieurs tests je trouve qu'en créant 3 segments (masse <= 50 grammes, 50 grammes < masse <= 150 grammes et masse < 150 grammes) l'objectif est atteint. Ci dessous le graphique correspondant

Ceci étant l'erreur reste très importante sur les moteurs du premier segment, donc il faudra utiliser la loi de calcul avec beaucoup de prudence pour des masses moteur de moins de 50 grammes. 

Il reste un point délicat : la détermination de la masse moteur, parce qu'il va falloir rentrer dans la feuille de calcul une masse moteur pour que le calcul de Ri puisse se faire ... il existe certes des "règles au doigt mouillé" liant la masse du moteur à la masse du modèle mais c'est quand même très approximatif. Et puis rien n'empêche de mettre un moteur 2 fois plus lourd que le minimum nécessaire (mon trainer de voltige a un moteur 2 fois plus lourd que mon Calmato, les 2 avions ont la même masse et des performances proches). On peut se rassurer en regardant la courbe et en observant que si on fait varier de 25 % la masse, la valeur du Ri calculé par la courbe de régression, ainsi que la dispersion des points réels, ne seront pas fondamentalement changés. Mais sur le fond ajouter les approximations les unes aux autre ne me plait guère. Mais faute de mieux ...

Justement ... j'ai une petite idée à tester pour voir si il n'y aurait pas mieux ...