Cas pratique de dimensionnent hélice/moteur : j'impose le diamètre hélice quel pas et quel Kv ?

Un petit cas pratique instructif, qui vient d'échanges sur le forum du site modélisme.com . Cet article est une première ébauche, il évoluera probablement au fil du temps. Les résultats sont à prendre avec prudence ... l'erreur est possible sur un 1er jus .. et les commentaires sont bienvenus.

historique des modifications :

15/12/2022 : la formule de boucher utilisée pour la traction est modifiée, un coefficient de correction issu des travaux de Franck Aguerre est ajouté, permettant de prendre en compte l'impact du rapport pas/diamètre.

16/12/2022 : modification de la partie analyse, après les tableaux. Correction de quelques erreurs de recopie de chiifres d'intensité et Kv, et ajout d'un paragraphe "incertitude liée au moteur".

18/12/2022 :ajout d'un calcul donnait le pas et l'intensité en fonction du Kv du moteur retenu.

19/12/2022 : ajout d'un petit paragraphe estimant l'erreur faite sur le Kv calculé.

Exposé du problème : un modéliste veut construite un P38 Lightning au 1/4 (4 mètres d'envergure), avec des hélices à l'échelle. Quelle motorisation cibler, sachant de plus qu'il souhaite alimenter chaque moteur en 10S lipo ?

J'avoue que je sors de mon domaine de compétence, je n'ai aucune expérience de modèle de cette taille. Mais quand on cherche une référence sur la toile, on ne trouve pas grand chose. J'ai tout juste trouvé deux P38 de 3m60 avec motorisation électrique, mais 3m60 et 4 mètre ça commence a faire une différence, ne serait-ce que pour la masse du modèle qui augmente de près de 50%.

L'hélice du P38 a un diamètre de 11 pieds 6 pouces, soit 138 pouces (un pieds fait 12 pouces). Au 1/4 ça fait une hélice de 34,5 pouces de diamètre. Tripale qui plus est. Après recherches le concepteur va se tourner vers une hélice tripale varioProp de Ramoser, ces hélices ayant l'avantage d'avoir un pas réglable. Comme il y a le choix entre des diamètres de 35,9 pouces et 31,3 pouces il choisit la seconde. Il n'y a rien de la sorte dans Drivecalc qui est ma référence habituelle, et bien entendu je n'ai jamais passé d'hélice de cette taille au banc. Sur le site APC on trouve des données correspondant à une 27x13 bipale, on est loin du compte. Donc il va falloir avoir recours aux formule de boucher. Ce n'est pas forcément très précis, ces formules ont leurs limites (surtout aux pas importants), mais je n'ai pas mieux.

Les équations : (j'ai pris les formules dans le livre RC Aero Design de Franck Aguerre) :

N en tours/mn, Pas et Diam en pouces, T_stat en Newton.

Les deux formules qui suivent sont valables pour des hélices bipales. Pour une tripale il faut faire le calcul en utilisant un diamètre équivalent égal à (3/2)^0.25 fois le diamètre de l'hélice tripale (coefficient multiplicateur égal à 1,07 . C'est 2^0.25 soit 1.19 pour une quadri pale)

• La traction au sol est : T_stat = 2,8.10^-11 x Pas x dia³ x N². Après avoir fait les calculs avec cette formule et comparé sur des hélices de plus petites taille que j'avais mesurée, je trouve pertinent d'appliquer la correction présentée par Franck Aguerre dans son livre : 

T_stat = (2/(1 + 2 x Pas / Diam)) x 2,8.10^-11 x Pas x Diam³ x N²

• La puissance à l'arbre consommée au sol par l'hélice est : Ph_meca = Pas x Diam⁴ x N³ x 9.10^-15/ coeff.

La valeur de coef dépend du type d'hélice : 1,7 pour une hélice classique, 2 pour une hélice travaillée et 2.3 pour une hélice très travaillée. Là, on voit déjà une source d'imprécision : avec une hélice très travaillée, à même diamètre et pas, la puissance à l'axe est divisée par 1,35 par rapport à une hélice standard.

• A cela on peut ajouter : Vpitch = N x Pas x 152,4.10^-5, avec Vpitch en Km/h

Je sais, tout cela s'applique à du statique et non à ce qui se passe réellement en vol. Ceci étant mon expérience montre que si on dimensionne "intelligemment" une chaine de propulsion en statique cela donne une bonne base, qu'on put ensuite vérifier/affiner avec le module motorisation de PredimRC et les essais en vol.

La logique du calcul

Le premier objectif va être de déterminer le pas de l'hélice. Pour cela il va falloir se donner un objectif en terme de Vpitch, et un deuxième objectif soit pour la traction soit pour la puissance mécanique. Il est plus facile de se fixer un objectif de traction, sachant que dans un 2ème temps on pourra se poser la question de minimiser Ph_méca (ce qui permet de minimiser l'intensité).

On va donc choisir, pour les premiers calculs, Vpitch = 130 km/h et T_stat = 3/4 de la masse (30kg) soit 22,5 kg ou 225 Newton. Attention, il y a deux moteurs donc la traction d'un seul moteur sera de 112,5 Newton.

On secoue un tout petit peu les équations en écrivant N = Vpitch / (Pas x 152,4.10^-5). On remplace N dans la formule de Boucher donnant la traction statique, et on obtient la relation :

2/D x Pas² + Pas - 2,41.10^-5 x Diam³ x Vpitch² / T_stat 

On a une équation du second degré, c'est facile à résoudre. Une fois déterminé le pas on pourra calculer N et Ph_meca, puis en se fixant un rendement moteur (75% ici) on aura la puissance électrique consommée, et donc l'intensité (car la tension d'alimentation est connue). Pour passer au Kv il y aura une approximation supplémentaire puisqu'il faut connaitre la résistance interne du moteur et la on va être tributaire des données des constructeurs (généralement fausses)

On peut résumer ça dans un schéma avec des couleurs 😁 (rouge : formule - vert : résultat de calcul - bleu : valeur fixée )

On jette tout ça dans un tableur et on obtient le tableau qui suit.

Je rappelle le principe : on s'est fixé Vpitch et T_stat et on regarde, pour des diamètres allant de 8 pouces à 34 pouces, quel est le pas permettant de satisfaire à cette condition. (descendre jusqu'à 8 pouces ne sert à rien dans le cas exposé mais cela m'a permis de faire des vérifications avec des hélices que j'ai mesurées).

Immédiatement, on voit que plus le diamètre est important et plus le pas augmente, dans des proportions très importantes, ce qui conduit à conclure que à partir d'un certain diamètre il n'y a pas de solution. Si on prends en compte le pas maximum de 35 inch d'une hélice varioProp, la limite peut être fixée à 28 pouces de diamètre.

On voit aussi qu'en dessous d'un certain diamètre la solution trouvée n'est pas applicable dans la pratique. On peut écarter les solutions ou la vitesse de rotation est supérieure à 10000 tours/mn, donc les diamètres inférieurs à 16.

Le bon choix est celui pour lequel l'intensité sera la plus faible, donc le diamètre de 28 pouces évoqué plus haut.

Ca ne veut pas dire qu'il n'est pas possible d'utiliser une hélice de 31 pouces diamètre, mais à ce moment là on ne pourra pas obtenir le Vpitch et la traction que l'on a ciblé et il faudra faire un compromis.

Donc je vais maintenant regarder les choses avec un autre point de vue : pour une hélice de diamètre 31,3 pouces et avec un Vpitch de 130 km/h, je fais varier le pas et je calcule pour chaque pas la traction, l'intensité et le Kv. J'ai conservé ma cible Vpitch au détriment de la traction, parce que avoir une traction trop élevée est moins pénalisant qu'avoir une Vpitch trop faible.

Et on obtient le tableau de résultats ci-dessous :

On voit que quand le pas augmente :

- N diminue (normal, la vitesse est proportionnelle à Pas et N, si Pas est petit N est grand)

- La traction diminue (normal puisque N diminue).

- La puissance mécanique diminue (elle est proportionnelle au pas et au cube de la vitesse de rotation)

- La puissance électrique et l'intensité diminuent. C'est logique puisque le rendement est supposé constant ainsi que la tension.

- pour les petits pas le Kv est négatif : cela veut dire que la solution n'est pas possible (le terme R x I est plus grand que la tension). Ensuite à partir d'un pas de 21 pouces le Kv est positif et diminue au fur et à mesure que le pas augmente. Mais l'intensité est très élevée, la traction aussi, on aboutit à des solution qui ne sont pas viables d'un point de vue pratique. Avec le pas maximum de 35 pouces on a un compromis acceptable.

Ok, mais que conclure : Pour avoir l'intensité la plus faible possible il faut que le pas soit le plus grand possible, donc on retiendra un pas de 35 pouces (maximum sur ces hélices). Cela nous donne une traction de 160 newton, légèrement surdimensionnée (32 kg pour les 2 moteurs) mais qui reste globalement acceptable. L'intensité est égale à 125 ampères, le rapport puissance/masse est de 290 watts/kg, alors que 250 watts/kg suffisent sur ce type de modèle, mais ça reste raisonnable. Le fait de vouloir une hélice à l'échelle conduit à un surplus de puissance et donc de consommation.

Le Kv est de l'ordre de 110 tours/mn/volt. Enfin, valeur à prendre avec précaution compte tenu des approximations faites (formule de boucher puis rendement moteur plus résistance interne).

Et si on veut un Vpitch plus élevé ? : je ne fais pas figurer le tableau dans l'article, mais cela va entrainer une augmentation de la vitesse de rotation, de la traction et de la consommation. Par exemple si je fixe une vitesse de 150 km/h l'intensité passe à 190 ampères et on a un ratio de 450 watts/kg. Avec une traction de 42kg qui permet de tenir le torque roll. C'est logique : pour augmenter Vpitch il faut augmenter la vitesse de rotation du moteur ouisqu'on ne peux pas augmenter le pas. D'où impact sur la traction etc ..

Incertitude liée au moteur : Le calcul dit qu'il faut un Kv de 108 tours/mn/volt. Oui mais ... c'est le résultat des hypothèses prises pour la tension, le rendement et la résistance interne (globale moteur + contrôleur + fils). C'est aussi lié au calcul de la puissance à l'axe fait avec la formule de Boucher qui on le sait n'est pas très précise. On pourrait connaitre précisément la puissance à l'axe nécessaire en faisant un essai de l'hélice sur un moteur disponible, n'ayant pas forcément les bonnes caractéristiques mais avec l'avantage que ça ne couterait rien. Des moteurs de la taille nécessaire sur un avion de ce type, ça coute cher, on ne peux pas en acheter 2 ou 3 avec différents Kv pour voir ce que ça donne ..

Le problème c'est qu'on ne peut pas augmenter le pas de 35 pouces qui a été calculé. Donc si la vitesse de rotation atteinte est trop faible, la vitesse de vol sera trop faible (et la traction aussi d'ailleurs). Quand on a ce problème sur un modèle de taille standard (disons 1m60) équipé d'une bipale, on passe à l'hélice de pas et/ou diamètre supérieure, elle est disponible sur le marché. Si l'avion est équipé d'une tripale classique c'est plus déjà plus dur (par exemple en Master Airscrew on a 14x7, 14x9, 15x7, 16x8), avec une varioProp on peut augmenter le pas (le diamètre aussi mais pas pouce par pouce). Dans le cas présent on est coincé ..

Si la vitesse de rotation est trop rapide, la consommation va être excessive. On peut réduire le pas mais on a vu que si on réduit le pas l'intensité grimpe. Il est donc préférable de réduire électroniquement la vitesse de rotaion à travers la programmation radio ou celle du contrôleur (bien que je n'aime pas trop cela)

La solution peut être de mettre un Kv supérieur à ce qui a été calculé pour ne pas risquer d'avoir une vitesse de rotation trop faible. Au pire il faudra la limiter électroniquement. Peut être est-il possible également d'utiliser une motorisation avec réducteur à courroie et d'ajuster le rapport de réduction, ce serait plus "propre".

Peut-on s'attendre à une erreur "monumentale" sur le Kv ? 

Non ! l'erreur sur I ne se répercute pas directement sur le Kv, parce que le Kv est calculé à partir de la formule kv = N / (U-R * I).

Reprenons notre exemple : nous avons trouvé une vitesse de rotation de 2437 tours/mn, une intensité de 125 ampères et un Kv de 108 tours/mn/volt. 

• Il n'y a pas d'incertitude sur la vitesse de rotation, elle est calculé à partir du pas et de Vpitch que l'on s'est fixé.
• l'intensité est calculée à partir de la puissance à l'axe, de la tension et du rendement moteur. L'incertitude vient de la puissance à l'axe calculée à partir de la formule de Boucher, on peut estimer qu'elle est au plus de +/- 20%. Ce qui nous donne +/- 20% sur I. L'expérience montre que la formule a tendance à sous estimer la puissance à l'axe.

Si on fait donc le calcul et prenant I+20%, on trouve Kv = 2437 / (35 - 0.1 * 125 * 1.2) soit Kv = 121,8 . Donc finalement 13% au dessus de la valeur calculée, ce qui n'est pas énorme. On aura donc bien intérêt, par prudence, à prendre un Kv corrigé un peu supérieur à celui qui est calculé, 125 tours/mn/volt semblant être une bonne valeur.

Y aurait-il un choix d'hélice plus adapté au modèle ? : on le voit dans le premier table, choisir un diamètre de 28 pouces ou mieux 26 pouces avec un pas de 29 pouces comme base permet d'avoir une marge de réglage du pas. Si le moteur ne tourne pas assez vite on peut augmenter le pas . Cela nous donne une intensité de 88 ampères (ratio Pin/masse de 205 watt/kg, (oui je sais c'est un peu inférieur par rapport au standard habituel, mais celui-ci étant fixé au doigt mouillé ...) et un kv de l'ordre de 110 environ. 

Peux t'on faire confiance à ces résultats ? : non dans l'absolu (les valeurs) mais oui sur les tendances.

• non surtout parce que on utilise les formules de Boucher. C'est surtout la formule donnant la puissance à l'axe qui me parait avoir une marge d'erreur assez élevée, disons de l'ordre de 10% à 15% sur les exemple que je connais. Mais je ne sais pas ce qu'elle devient sur des pales Varioprop et les pas et diamètre utilisés ici. Il me semble qu'appliquer la correction poposée par Franck Aguerre sur la formule donnant la traction améliore nettement le résultat.
  • non mais à moindre titre parce que la valeur de rendement est estimée et chute quand l'intensité augmente, tout comme la tension du pack. Quand à Ri ... j'ai pris la valeur d'un moteur Scorpion S5535 160 kv issue de Drivecalc (les Ri dans Drivecalc sont le cumul de la résistance interne du moteur, et de la résistance du contrôleur et des fils et connecteurs de liaison, tout comme dans mes calculs), parce que c'est le moteur ayant le Kv le plus faible dans la base. Disons qu'il y a une incertitude de 20% sur le Kv ...
• non mais d'une façon marginale et que l'on peut corriger parce que les cibles Vpitch et traction peuvent porter à discussion.
• oui sur les tendances mises en évidence (pas augmente --> traction diminue, puissance consommé diminue, Kv diminue). 
• oui sur le fait  que avec une hélice varioProp ayant un diamètre à l'échelle il faut choisir le pas le plus grand possible, et que ça donnera une chaine de propulsion un peu surdimensionnée mais cohérente.

Prochaine étape :  ce serait de faire une mesure sur l'hélice varioProp tripale de 31.3 pouces de diamètre avec un pas de 35 pouces et une vitesse de rotation de 2500 tours/mn pour voir quelle est la puissance consommée et accessoirement quelle est la chute de tension du pack dans ces conditions, afin de pouvoir affiner le choix du Kv. Une mesure de traction serait également intéressante. 

Attention tout ce qui précède concerne l'avion en statique : comment va évoluer le rendement de l'hélice en vol quand le pas augmente ? Predimrc doit pouvoir répondre, mais je ne sais pas si la fiabilité du programme reste bonne quand on atteint des pas aussi importants. Un recalage de certains paramètres d'ajustement (portant sur l'hélice par exemple) pourrait certainement améliorer la précision du résultat, sachant que le vrai juge c'est le comportement en vol.

Complément : et si on calculait le pas, l'intensité et la puissance électrique en fonction du Kv

Le calcul précédent nous disait que avec un pas de 35 pouces le Kv doit être de 108 pour que les valeurs cibles soit atteintes et l'intensité minimale. Mais trouver un moteur de Kv précisément 108, acceptant 

Il suffit pour cela de secouer les équations d'une manière un peu différente.

• d'une part de N = kv ( U - R * I) on déduit I = 1/R * (U - N / Kv)
• d'autre part l'équation de Boucher dit : Ph_meca = Pas x Diam⁴ x N³ x 9.10^-15/ coeff.
• Enfin P_in = Ph_meca / rendement = U x I

Donc on remplace te on obtient I = Pas x Diam⁴ x N³ x 9.10^-15/ (coeff. x rendement x U) = 1/R * (U - N / Kv)

Ceci nous donne une équation du troisième degré en N, pas très simple à résoudre. Heureusement il nous reste : Vpitch = N x Pas x 152,4.10^-5 et donc N x Pas = Vpitch / 152,4.10^-5. Ceci va nous permettre de revenir à une équation du second degré en N :

Vpitch / 152,4. 10^-5 * Diam⁴ x N² x 9.10^-15/ (coeff. x rendement x U) = 1/R * (U - N / Kv)

Si on remet un peu d'ordre dans les différents membres de l'équation :

(R x Vpitch  * Diam⁴  x 9.10^-15/ (coeff. x 152,4.10^-5 x rendement x U)) x N² + (1 / Kv) x N - U = 0

ouf ! équation du second degré, facile à résoudre. R, Vpitch, Diam, coeff, rendement et U sont fixés. Pour chaque Kv on peut calculer N. De là rapidement par les équations données plus haut on a I, Pin, et la traction par la formule de Boucher.

J'ai mis cela dans Excel et j'obtient le tableau de résultats suivant :

Regardons ce qui se passe pour un Kv de 108, qui correspondait à un pas de 35 pouces dans le tableau précédent. J'ai fait varier le Kv de 5 en 5 donc on regarde ce qui se passe pour Kv = 110 : I = 127 ampères, Pin = 4440 watts. Dans le calcul précédents pour Kv = 108 on avait 125 ampères et 4377 watts, tout est donc cohérent.

Regardons les chiffres de plus près : si le Kv est de 150 par exemple, on dépasse 200 ampères plein gaz. Réduction de la vitesse de rotation moteur indispensable par le biais de la programmation ou d'un réducteur. On voit ici tout l'intérêt du calcul : il permet de mettre en évidence les obstacles et les contraintes auxquelles on va devoir faire face compte tenu du cahier des charges que l'on s'est fixé.