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Les articles décrivant l'aspect théorique donnent les formules de calcul (Théorie du moteur électrique brushless ), j'ai voulu ici visualiser le résultat sous la forme de courbes

Le moteur caractérisé ici a les caractéristiques suivantes :

•  Io = 1,6 Ampère
• Kv = 1500 tours/mn/volt
• Ri = 0,03 ohm

Dans un premier temps j'ai tracé les courbes dans le cas ou on est gaz à fond avec une tension d'entrée constante. Cela ne correspond pas du tout à ce qui se passe en réalité, mais c'est ce qui est généralement indiqué comme données de référence par les fabriquants de moteur (qui ne donnent généralement pas la courbe mais la valeur de rendement maximum) ou la littérature. Dans le cas présent la tension est de 14 volts, ce qui correspnd approximativement à la tension d'un pack lipo 4S sour 20 ampères.

On voit que le rendement part de 0, pour une intensité nulle. Il reste nul jusqu'à ce que l'intensité atteigne Io. Puis il monte jusuq'à un maximum, et redescend ensuite juqu'à devenir nul à un intensité qui correspond à l'intensité de blocage. Dans la pratique, en cas de blocage si le controleur n'est pas équipé d'une sécurité il est fort probable que le controleur comme le moteur subiront des dégats irréversibles.

La puissance monte également jusqu'à atteindre un maximum, puis redescend pour s'annuler lorsque l'intensité atteint l'intensité de blocage. On note que sur un modèle de type usuel cette puissance maximum ne sera jamais atteinte (coupure controleur ou dégradation irréversible de celui-ci et du moteur), l'intensité à puissance maximum étant de 250 ampères environ.

Dans le graphe de gauche on a un zoom sur la zone d'utilisation d'un trainer ou d'un hélico classe 500 ou d'un avion de moins de 2kg environ. J'ai tracé sur ce graphique la variation de la vitesse moteur, qui passe d'environ 17000 tours/mn pour I=0 (pas de charge) à 15000 tours/mn pour 50 ampères.

 
Dans la réalité, la tension en entrée de controleur n'est pas constante. D'une part la tension de chaque élément baisse quand l'intensité augmente, et d'autre part il faut prendre en compte les pertes par effet joule dans les fils, les connecteurs 'y compris ceux entre éléments dans le pack), le controleur, etc.... Tout cela peut être simulé dans le calcul en prenant en compte une résistance globale égale à la somme de toutes les résistances de ces différents éléments.

J'ai estimé tout ça à environ 70 mohms, valeur confirmée par l'expérience. La tension sans charge est ici de 15,6 volts. Elle évolue selon la loi U = E - R*I .

On voit que les courbes ont globalement la même forme. Toutefois :

• l'intensité de blocage est cette fois-ci beaucoup plus faible
• L'intensité à puissance maximum est également beaucoup plus basse que lorsque on ne prenait en compte que le seul effet dû à la résistance du moteur. La puissance maximale est également très nettement plus faible.
• Le rendement maximum est également le même que dans le cas précédent. C'est normal, car il intervient aux environs de 20 ampères et la tension est égale à environ 1 volts (logique, j'avais pris dans le cas "tension constante" une tension réaliste correspondant à une intensité de 20 ampères.
• La vitesse de rotation moteur chute beaucoup plus rapidement quand l'intensité augmente; elle est également plus élevée pour des intensités faibles (car la tension du pack est plus élevée quand l'intensité est faible que dans le cas "tension constante" décrit plus haut.

A venir : tableau donnant les valeurs numériques dans les deux cas de figure.

J'aime bien comprendre ce que je fais et avoir l'impression que je maitrise les technologies que j'utilise. J'ai bien dit avoir l'impression ...

En ce qui concerne le moteur électrique, si il y a des modèles de simulation relativement performants pour les avions pour les hélicoptères il n'y a pas grand chose. J'ai donc décidé de reprendre tout par le début et de tenter de modéliser la chaine de propulsion de mon Eco8. On verra par la suite que finalement j'ai été forcé de limiter mon ambition, mais patience.

Donc, pour commencer, les équations du fonctionnement du moteur électrique  :

Je passe rapidement sur la théorie du fonctionnement du moteur, sur ce sujet je suis un peu dépassé et je risquerai de dire des bêtises, j'y reviendrai peut être plus tard. On retiendra que le moteur tourne à une vitesse qui est proportionnelle à la tension d'alimentation, le controleur (dans le cas d'un brushless, sur un moteurs à balais ce sont les balais et les lamelles sur le rotor qui jouent ce rôle) se chargeant d'alimenter au bon moment la bobine qui va bien. Pour l'instant on suppose que les gaz sont à 100%, c'est plus simple. Et pendant que nous y sommes on va considérer que la tension d'alimentation du controleur est constante (ce qui n'est pas le cas lorsque on alimente la propulsion avec un pack d'accus, car en particulier la tension chute quand l'intensité augmente).

Le moteur est caractérisé par trois grandeurs :

- le Kv : constante de vitesse qui donne la vitesse de rotation pour 1 volt (en Tours/mn/volt
- Io : intensité consommée moteur "à vide".
- Ri : résistance interne du moteur.

On remarquera qui Io qui apparait généralement dans les datasheet comme une constante n'en est pas une, sa valeur dépend de la vitesse de rotation du moteur.

Par ailleurs Kv n'est pas vraiment une constante absolue, sa valeur dépend en particulier du timing.

Quand à Ri, attention aux valeurs trouvées dans les datasheet, dans certains cas ce qui est indiqué c'est parfois la résistance interne d'un seul des bobinages, hors sur certains moteurs il y a deux bobinages en série. la valeur que l'on mesurera réellement si on dispose d'un ohmètre assez précis sera donc le double de celle indiquée sur la feuille de caractéristiques.

Le Ri est important, parce que quand on alimente le moteur avec une tension U seulement une partie de cette tension va servir à faire tourner le moteur. Le reste va être perdu en raison de l'effet joule, qui se traduit par un échauffement du moteur : quand une intensité I traverse une résistance R, la chute de tension aux bornes de la résistance est Ur = R*I . Donc, dans le cas de notre moteur, si la tension d'alimentation est U, la tension qui sert vraiment à animer le moteur est U - I * Ri (I étant l'intensité dans le circuit).

Tient, au fait, les ordres de grandeur courantes de ces valeurs (pour des brushless) : 700 tours/mn/volt à 3500 tours/mn/volt pour le Kv, 0,5 ampère à 3 ampères pour Io et 0,015 ohm à 0,045 ohm pour Ri.

Le cachet d'apirine est prêt ? alors on y va :

Vitesse de rotation du moteur : N = Kv * (U - I * Ri) 
Puissance consommée           : Pc = U * I
Puissance en sortie moteur    :  Ps = (U - I * Ri) * (I - Io).

Là, j'explique : la puissance en sortie est égale à la puissance utile. On la calcule en appliquant la formule générique puissance = tension * intensité. Mais il ne faut prendre en compte dans le cas présent que la tension utile (celle qui fait tourner le moteur) et l'intensité utile (c'est à dire en soustrayant l'intensité à vide, qui ne produit pas de puissance sur l'axe)

Puissance au rotor : Pr = N * C (C est le couple au niveau du rotor). C'est la même puissance que la puissance en sortie moteur, mais cette fois-ci vue d'un point de vue mécanique et non pas électrique.

Qu'est-ce qu'on peut tirer de tout ça ?

- puissance au rotor = puissance de sortie :
                 Pr = Ps

         -->   (U - I * Ri) * (I - Io) = N * C
         -->   N / Kv  * (I - Io) = N * C
         -->   (I - Io)  / Kv = C
         -->   I = Kc * C + Io en posant Kc = 1/Kv .

Ce qui veut dire que le couple exercé par le moteur est fonction de l'intensité : la relation entre les deux grandeurs est linéaire, la pente est égale à Kc = 1/ Kv.

- Vitesse de rotation moteur : quand on met du pas la vitesse du moteur chute. Ce qu'on corrige en mettant une courbe de gaz qui a pour effet d'augmenter le % de gaz quand le pas augmente. L'équation N = Kv * (U - I * Ri) explique en partie ce phénomène : quand le pas augmente, le couple augmente également , et de même pour l'intensité. Donc la tension utile diminue. Et la vitesse rotor qui est proportionnelle à la tension utile diminue également.

En réalité, si on alimente par une batterie un deuxième effet se superpose à celui-ci car quand l'intensité consommée augmente la tension de l'accu baisse.

- Rendement du moteur : c'est le rapport entre la puissance de sortir et puissance d'entrée.

          rendement = Ps / Pc = (U - I * Ri) * (I - Io) / (U * I)

Pour trouver le rendement maximum on décompose, on dérive et on dit que la dérivée est égale à 0. On trouve l'intensité au rendement maximum :

          R  = ((U - I * Ri) * (I - Io)) / (U * I) 
          R = (U*I - U*Io - Ri*I² + I*Ri*Io)

          R = 1 - Io/I -(Ri/U)*I + (Ri/U) * Io

le rendement maximum est atteint quand dR/dI = 0

          dR/dI = 0

          Io/Irmax² - Ri/U = 0

          Io/Irmax² = Ri/U

          Irmax² = Io * U / Ri          

          Irmax = racine ( U * Io / Ri )

Pour calculer le rendement maximum, on repart de l'équation du rendement et on écrit que l'intensité est égale à racine(U * Io / Ri). 

          Rmax = 1 - Io/Irmax -(Ri/U)*Irmax + (Ri/U) * Io

          Rmax = 1 - Io/(racine (U*Io/Ri)) - Ri/U * (racine(U*Io/Ri)) + (Ri/U)*Io

          Rmax = 1 - Io*racine(Ri/(U*Io)) - racine(Ri*Io/U) + (Ri/U)*Io

          Rmax = 1 - racine (Io*Ri/U) - racine(Ri*Io/U) + (Ri/U)*Io

          Rmax = 1 - 2 * racine (Io*Ri/U) + (racine ((Ri/U)*Io))²

          Rmax = (1 - racine (Io*Ri/U))²

On voit que le rendement dépend uniquement de la tension d'alimentation, de la résistance interne du moteur et de l'intensité à vide. En particulier on remarque que quand la tension augmente le rendement augmente également. On a donc intérêt à utiliser le moteur à la tension la plus élevée possible (pas seulement la tension d'alimentation du controleur, mais aussi la tension interne dans le moteur. c'est à dire voler avec le plus de gaz possible, ce qui se fera sur un hélicoptère en ayant un pignon bien adapté).

Au passage, on peut écrire Rmax en fonction de Irmax :

          Rmax = (1 - racine (Io*Ri/U))²

          Rmax = (1 - Io * racine ( Ri / (Io*U))²

          Rmax = (1 - Io / (racine (Io * U / Ri))²

          Rmax = (1 - Io / Irmax)²

          Rmax = ((Irmax - Io) / Irmax)²

- Puissance Maximum

Pour la calculer, et toujours en supposant que l'alimentation moteur est constante, on part de l'équation vue plus haut que l'on dérive en fonction de l'intensité, la dérivée s'annulant pour l'intensité à laquelle la puissance est maximum : 

          Ps = (U - I * Ri) * (I - Io) = - I²*Ri + I*(U + Ri*Io) - U*Io

          d(Ps)/d(I) = - 2*I*Ri +U*(Ri*Io)

          d(Ps)/d(I) = 0 quand 2*I*Ri =U*(Ri*Io)

on remet de l'ordre et on obtient : I(Ps,max) = 1/2*(U/Ri +Io)

Le terme Io est de l'ordre de 1. Par contre Ri est générallement de l'ordre de 0,03 ohm et on voit donc que U/Ri va être très élevé (pour U = 9 volts U/Ri = 300 donc l'intensité à puissance maximum est de l'ordre de 150 ampères. Dans la pratique à une telle intensité l'un des éléments de la chaine de propulsion va griller et donc la notion de puissance maximum théorique d'un moteur n'a que peu d'intérêt. La puissance maximum du moteur est en fait liée à sa capacité à évacuer la chaleur crée par l'effet joule (donc en gros liée à sa masse et au refroidissement).

Il suffit ensuite de réintroduire l'intensité dans la formule de la puissance :

          Ps,max = (U - I(Ps,max) * Ri) * (I(Ps,max) - Io)

          Ps,max = (U - 1/2*(U + Ri*Io))*(1/2*(U + Ri*Io) - Io

On remet de l'ordre et on obtient :

          Ps,max = (U - Ri*Io)²/(4*Ri)

Pour un moteur donné la puissance maximum théorique ne dépend donc que de la tension d'alimentation. Comme le terme Ri*Io est très faible devant U on peut admettre que cette puissance maximum théorique vaut U²/(4*Ri)

- Intensité au blocage : si le couple augmente beaucoup, l'intensité va augmenter et la chute de tension dans le moteur va finalement être telle qu'elle sera égale à  la tension d'alimentation : le moteur ne tourne plus. On peut facilement calculer l'intensité correspondante en écrivant que U = Ibloc * Ri

          Ibloc = U / Ri


Bon et bien voila une bonne chose de faite. Promis je ne recommencerai pas. Que ceux qui ont abandonné la lecture au bout de quelques lignes ne s'inquiètent pas, on peut parfaitement vivre sans savoir redémontrer toutes ces équations.